ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Высказывания и операции над ними

В процессе обмена информацией мы выражаем мысли с помощью высказываний предложений. Среди этого множества предложений есть самые маленькие конструкции, относительно которых можно определенно сказать, что они либо истинны, либо ложны.

ПРИМЕР. 1. Все высоты треугольника пересекаются в одной точке (истинное).
2. 2 • 3 = 5 (ложное).
3. Студенты группы 999 (нельзя определить)
4. 2^(1/2)+7^(1/2)=? (нельзя определить).
Мы будем рассматривать только те предложения, о которых можно сказать истинны они или ложны.
Предложение, относительно которого известно истинно оно или ложно, называется утверждением или высказыванием.
Простыми высказываниями называются утверждения, истинность которых известна заранее.
Из простых высказываний (утверждений) с помощью грамматических конструкций («не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда…») строятся составные высказывания.
Построение новых высказываний из простых с помощью перечисленных выше конструкций называется логической операцией над простыми высказываниями.
Простые высказывания будем обозначать греческими буквами (A-условно альфа, B, C,…).
Основными логическими операциями являются:
I. Отрицание высказывания A (обозначается «¬A» и читается «не альфа» или «неверно, что альфа»). Отрицание определяется следующей таблицей истинности.

II. Конъюнкция (умножение, произведение) двух высказываний A и B строится при помощи союза «и» (читают «альфа и бета»). Конъюнкция задается следующей таблицей истинности.

Из определения следует, что союз «и» в алгебре высказываний используется в том же смысле, что и в обыденной речи.
ПРИМЕР. Если f(x)+g(x)=0, то f(x)=0 и g(x)=0.
Высказывание f(x)=0 и g(x)=0 истинно, если истинны оба высказывания (f(x)=0 и g(x)=0).
III. Дизъюнкция двух простых высказываний A и B строится при помощи союза «или». Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности.

Подчеркнем, что союз «или» в алгебре высказываний используется в соединительном смысле. В обыденной речи союз «или» может употребляться как в соединительном, так и в разделительном смысле.
ПРИМЕР. 1. Я сдам или провалю экзамен (разделительный смысл: оба события не могут произойти вместе).
2. На каникулах я прочту «Братьев Карамазовых» или «Войну и мир» (соединительный смысл: не исключается то, что на каникулах будут прочитаны обе книги).
В математической логике союз «или» употребляется только в соединительном смысле!!!
ПРИМЕР. Если f(x)•g(x)=0, то f(x)=0 или g(x)=0.
Здесь высказывание «f(x)=0 или g(x)=0» истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний «f(x)=0», «g(x)=0».
IV. Импликация (читается «если альфа, то бета», «из альфа следует бета», «альфа является достаточным условием для бета», «альфа является необходимым условием для бета»).
Импликация определяется следующей таблицей истинности.

В обычной речи под утверждением «из альфа следует бета» понимают причинную связь, то есть имеют в виду, что альфа - аксиома и что истинность утверждения «из A следует B» устанавливается независимо от заключения B с помощью каких-то причинных связей. Тогда истинность утверждения B следует из истинности правил вывода.
В определении импликации логическое значение A и B даны, а логическое значение импликации определяется через них.
Если обратится к таблице истинности импликации, то можно заметить, что ложное заключение B можно получить в двух случаях.
1) Если истинна посылка (A) и ложно доказательство.
2) Если доказательство истинно, а посылка ложна.
В форме импликации (условного суждения) формулируется значительное количество теорем.
ПРИМЕР. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
1. Форма условного суждения.
Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
2. Форма необходимого условия.
Для того, чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были перпендикулярны.
3. Форма достаточного условия.
Чтобы диагонали четырехугольника были перпендикулярны, достаточно, чтобы четырехугольник был ромбом.
V. Эквивалентность двух высказываний (читается «A тогда и только тогда, когда B…», «A эквивалентна (равносильна) B», «A (B) есть необходимое достаточное условие для B (A)», «если A, то B и обратно»).
Эквивалентность определяется следующей таблицей истинности.